Uvod

V okviru projektnega dela Špagetolom smo raziskovali, od katerih relevantnih parametrov je odvisna največja sila, s katero moramo delovati na snop špagetov v prečni smeri, da ga zlomimo. Odločili smo se, da bomo raziskali vpliv:

• debeline špagetov,
• razdalje med podporama, na katerih so špageti postavljeni,
• števila špagetov v snopu,
• ponavljajočega upogibanja in
• namakanja v vodi.

Večino poskusov smo izvedli na špagetih znamke Barilla. Delali smo s špageti treh različnih debelin: N°1 (fotografija ), N°3 in N°5. Špageti debeline N°1 in N°5 so bili sveži, špageti debeline N°3 pa so bili stari že več kot desetletje. Predvidevali smo, da to nima velikega vpliva na rezultate in tega tudi nismo opazili.

Za vse meritve smo uporabili isti digitalni silomer podjetja Vernier, ki ima dve nastavitvi za ločljivost. Večinoma smo uporabljali natančnejšo nastavitev, pri snopih, kjer je merjena sila šla nad 10 N, pa smo uporabljali manj natančno nastavitev.

Večino meritev smo izvedli s posameznimi špageti, ker domnevamo, da lahko spoznanja o posameznih špagetih prenesemo na snope.

Vpliv razdalje med podporami in debeline špagetov na lomilno silo

Za namene raziskovanja smo s 3D tiskalnikom natisnili posebni podpori (fotografija ), ki sta nam omogočali enostavno fiksiranje špagetov različnih debelin na konstantnih razdaljah. Da se podpori nista premikali, smo jih med merjenjem z lepilnim trakom prilepili na površino in utežili.

S silomerom smo na špaget delovali s silo na sredini med podporama, dokler se špaget ni zlomil (fotografija ). Tako smo izmerili največjo silo, ki je potrebna, da se špaget zlomi (lomilno silo).

Najprej nas je zanimalo, kako debelina špageta vpliva na silo, potrebno, da se špaget zlomi. Tako smo najprej na razdalji 20 cm testirali N°1 nato N°1 in nazadnje se N°5. Iz meritev se jasno vidi, da debelejši špageti zdržijo bistveno večjo silo. To lahko tudi potrdimo z enačbo za vztrajnostni moment ploskve, ki pri okroglem prerezu narašča s četrto potenco polmera. Torej že majhno povečanje debeline špageta poveča njegovo odpornost.

Poskus smo nato nadaljevali z isto debelino špagetov, in sicer z d=1,169 mm, pri različnih razdaljah med podporama (20 cm; 7,5 cm; 6 cm; 5 cm; 4 cm). Zanimalo nas je kako razdalja vpliva na silo, ki je potrebna, da se špaget zlomi. Iz grafa vidimo, da se sila, potrebna, da se špaget zlomi, manjša z oddaljenostjo med podporama. To pa lahko pojasnimo z navorom, daljša kot je razdalja večji je navor pri isti sili. Zato pri večjih razdaljah potrebuje manjšo silo, da špaget zlomimo.

Nato nas je zanimala še lomna napetost (\(\sigma\)). Ta nam pove pri kolikšnem notranjem pritisku material poči. Teoretično bi morala biti za isti material konstantna, saj je odvisna le od strukture materiala, proizvodnih procesov in temperature.

Pri meritvah vpliva debeline d smo opazovali špagete treh različnih debelin (d1=1,169 mm; d2=1,413 mm; d3=1,817 mm). Izračunane lomne napetosti \(\sigma\) se gibljejo v območju od 173,94 MPa do 196,22 MPa. Na grafu lahko opazimo, da se lomna napetost z večanjem debeline rahlo manjša. Teoretično bi morala biti lomna napetost neodvisna od debeline, v praksi pa lahko pride do rahlih nihanj vrednosti \(\sigma\), zaradi nehomogenosti materiala (majhne razpoke, zračni mehurčki itd.). K napaki prispeva tudi majhna količina meritev.

Pri meritvah vpliva razdalje L med podporama (L1=20 cm; L2=7,5 cm; L3=6 cm; L4=5 cm; L5=3 cm) smo izračunali lomne napetosti, ki se gibljejo med 134,09 MPa in 185,09 MPa. Na grafu lahko opazimo, da se lomna napetost s povečevanjem razdalje rahlo dviga. Pri večji razdalji med podporama se namreč špaget ne obnaša več le prečno ampak prevladujejo upogibne napetosti (špaget se pred zlomom upogne). Razdalja med podporama neposredno vpliva na to, ali se material zlomi zaradi čistega striga ali zaradi upogiba. Pri večjih razdaljah se špaget obnaša bolj prožno.

Ukrivljenost/upogib pred zlomom

Med meritvami vpliva debeline \(d\) in razdalje \(L\) na silo, ki je potrebna, da špaget zlomimo, smo zraven opazovali tudi upogib špageta (koliko se upogne tik preden poči). To smo storili tako, da smo vsako meritev posneli in nato s posnetka razbrali "višino" raztezka oz. upogib.

Iz grafov se jasno vidi, da na ukrivljenost vpliva tako debelina kot tudi razdalja med podporama. Z večanjem debeline se ukrivljenost zmanjšuje, z večanjem razdalje pa se ukrivljenost povečuje. Tako smo ugotovili, da je špaget najbolj elastičen, ko je tanek in dolg. Nasprotno pa so kratki in debeli špageti bolj togi in se zlomijo že pri minimalnem upogibu.

Kot smo že prej ugotovili, daljši kot je špaget, večji je navor in tako že majhna sila povzroči deformacijo. In debelejši kot je špaget, večji je vztrajnostni moment ploskve in težje pride do deformacije/upogiba.

Vpliv števila špagetov v snopu na lomilno silo

V tem delu poskusa smo raziskovali, kako je največja sila, potrebna za zlom snopa špagetov, odvisna od števila špagetov v snopu. Pri vseh glavnih meritvah smo ohranili enako razdaljo med podporama \(L = 11{,}5\, \mathrm{cm}\), spreminjali pa smo število špagetov v snopu. Neodvisna spremenljivka je bila torej število špagetov \(n\), odvisna spremenljivka pa lomilna sila \(F_{lom}\). Snop smo obremenjevali v prečni smeri, dokler ni prišlo do porušitve.

Na začetku smo število špagetov v snopu določali iz mase snopa, vendar je ta metoda manj natančna, saj posamezni špageti nimajo popolnoma enake mase. Zato smo v nadaljevanju število špagetov v vsakem snopu določili neposredno s štetjem. Meritve, pri katerih je bilo število špagetov točno prešteto in je bil snop vpet na enak način, smo uporabili za glavno analizo odvisnosti \(F_{lom}(n)\).

Pri lomljenju snopov smo opazili, da se snop ne zlomi kot popolnoma homogeno telo. Najprej se je običajno zlomil eden izmed zgornjih špagetov, torej špaget, ki je bil najbližje mestu delovanja sile. Šele nato so se v zelo kratkem časovnem intervalu zlomili še ostali špageti. To pomeni, da sila v snopu ni bila porazdeljena popolnoma enakomerno. Zgornji špageti so bili bolj neposredno obremenjeni, spodnji pa so del sile prevzeli šele po prerazporeditvi napetosti. Zato snopa ne moremo obravnavati kot idealno monolitno palico, ampak kot sistem več šibko povezanih palic, med katerimi se sila porazdeljuje neenakomerno.

Za idealno homogeno palico, obremenjeno na sredini med dvema podporama, je največji upogibni moment \[M_{max} = \frac{F_{lom}L}{4}.\] Lom nastopi, ko največja upogibna napetost doseže kritično napetost materiala \[\sigma_{max} = \frac{M_{max}c}{I} = \sigma_{krit},\] kjer je \(I\) vztrajnostni moment prereza, \(c\) pa razdalja od nevtralne osi do najbolj oddaljenega vlakna. Iz tega sledi \[F_{lom} = \frac{4 \sigma_{krit} I}{L c}.\]

Če bi se snop špagetov obnašal kot ena sama zlepljena homogena palica, bi bil njegov vztrajnostni moment določen z integralom po celotnem prerezu snopa \[I_n = \int_{A_{n}} y^2 \, dA.\] Za snop posameznih špagetov lahko ta integral približno zapišemo kot vsoto prispevkov posameznih špagetov \[I_n \approx \sum_{i=1}^{n} \left( I_0 + A_0 y_i^2 \right),\] kjer je \(I_0\) vztrajnostni moment enega špageta okoli lastne osi, \(A_0\) ploščina njegovega preseka, \(y_i\) pa oddaljenost posameznega špageta od nevtralne osi snopa. Ta izraz pokaže, da bi bila pri popolnoma povezanem snopu odvisnost od števila špagetov lahko močnejša od linearne, saj k togosti ne prispevajo le posamezni špageti, ampak tudi njihova razporeditev v prerezu.

Naše meritve pa kažejo drugačno obnašanje. Z grafa je razvidno, da je v območju meritev od približno 10 do 50 špagetov odvisnost lomilne sile od števila špagetov zelo dobro opisana z linearno zvezo \[ F_{lom}(n) = (0{,}77297 \pm 0{,}04366)n + (2{,}775 \pm 1{,}355), \] kjer je \(F_{lom}\) podan v newtonih, \(n\) pa je število špagetov v snopu. Korelacijski koeficient je \(R^2 = 0{,}969\).

Tako velika vrednost \(R^2\) pomeni, da linearni model zelo dobro opiše eksperimentalne podatke. Naklon premice \[ a \approx 0{,}773 \, \mathrm{N}/\mathrm{špaget} \] lahko razumemo kot efektivni prispevek enega dodatnega špageta k lomilni sili snopa pri našem načinu vpetja. Vrednost prostega člena \[ b \approx 2{,}775 \, \mathrm{N} \] pa nima neposrednega fizikalnega pomena za \(n = 0\), saj snop z nič špageti ne more prenašati sile. Prosti člen je zato treba razumeti kot posledico eksperimentalnih pogojev, na primer začetnega stika med merilno napravo in snopom, trenja, načina vpetja ter dejstva, da linearni model velja samo v območju merjenih vrednosti.

Linearna odvisnost kaže, da se snop v našem poskusu ni obnašal kot popolnoma tog in homogen valj, temveč bolj kot skupek posameznih špagetov, ki silo prenašajo približno aditivno. Zato lahko uvedemo efektivni model \[ F_{lom}(n) ≈ \eta(n)n F_1 + F_{kontakt}, \] kjer je \(F_1\) lomilna sila enega špageta, \(\eta(n)\) faktor učinkovitosti prenosa sile med špageti, \(F_{kontakt}\) pa popravek zaradi vpetja, trenja in začetnega kontakta. Če je \(\eta(n)\) v merjenem območju približno konstanten, dobimo linearno zvezo \( F_{lom}(n) \approx an + b \), kar se dobro ujema z eksperimentalnim grafom.

Opažen sekvenčni lom lahko opišemo tudi z modelom prerazporejanja sile. Če posamezen špaget v snopu nosi delež \(\alpha_i\) celotne sile, potem je sila na njem \[ F_i = \alpha_i F, \] pri čemer velja \[ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1. \]

Prvi zlom nastopi pri tistem špagetu, za katerega je razmerje med obremenitvijo in kritično silo največje: \[ \alpha_i F \ge F_{i, krit} \] Ko se ta špaget zlomi, se njegova sila prerazporedi na preostale špagete. Zaradi tega se njihovi deleži \(\alpha_i\) povečajo, kar lahko sproži verižno porušitev celotnega snopa. To pojasni opažanje, da se najprej zlomi zgornji špaget, nato pa hitro še ostali.

Graf \(F_{lom}(n)\) zato kaže dve pomembni stvari. Prvič, lomilna sila z večanjem števila špagetov jasno narašča. Drugič, raztros točk okoli premice kaže, da število špagetov ni edini parameter, ki vpliva na lom. Pri enakem številu špagetov so bile izmerjene sile lahko različne, kar je najverjetneje posledica različnega vpetja, neenakomerne porazdelitve sile po prerezu snopa, majhnih razlik v debelini posameznih špagetov in mikroskopskih napak v materialu.

Za snop petnajstih špagetov linearni model napove \[ F_{lom}(15) = 0{.}77297 \cdot 15 + 2{.}775 = 14{.}37 \, \mathrm N. \] Ob upoštevanju negotovosti prileganja dobimo približno \[ F_{lom}(15) = 14{.}37 \, \mathrm N \pm 2{.}01 \, \mathrm N. \]

Ta rezultat je smiseln, saj se dobro ujema z neposrednimi meritvami za snop petnajstih špagetov pri prvem načinu vpetja. Meritve pri drugem in tretjem načinu vpetja so dale nekoliko nižje vrednosti, vendar sklepamo, da se je sila manj enakomerno porazdelila po snopu in zato dobimo nižje vrednosti. Za potrditev tega, da način vpetja vpliva na lomilno silo, bi bilo treba izvesti več meritev.

Iz meritev lahko zaključimo, da je število špagetov v snopu eden glavnih parametrov, ki določajo lomilno silo. V našem območju meritev je zveza med številom špagetov in lomilno silo približno linearna. To pomeni, da se odpornost snopa povečuje skoraj sorazmerno s številom špagetov, vendar snop zaradi neidealnega stika med špageti, nehomogenosti materiala in sekvenčnega loma ne deluje kot popolnoma homogena palica.

Upogibanje špagetov

Zanimalo nas je, ali se bo lomljivost špagetov spremenila, če jih velikokrat upognemo. Za izvedbo tega poskusa smo si pomagali s funkcijskim generatorjem (fotografija ) in gonilnikom signala (fotografija ). Vrsto špagetov smo na koncih pritrdili na lesena bloka, oddaljena 20 cm, na sredini pa so bili podprti s prečko, ki je nihala gor in dol z nastavljeno frekvenco (fotografija ). To, da je dejanska frekvenca nihanja bila res enaka nastavljeni, smo potrdili tako, da smo nihanje posneli s 120 sličicami na sekundo in video analizirali (primer: video ).

Gonilnik smo med poskusom štirikrat ustavili in izmerili lomilno silo pri 20 cm razmiku med podporama, vsakič za 8 špagetov. Pri tem smo iz časa upogibanja \(t\), ki smo ga merili s štoparico, in frekvence \(\nu\) izračunali tudi približno št. nihajev \(N=\nu t\). Začeli smo s frekvenco 10 Hz, potem pa smo zaradi časovne omejitve po prvi ustavitvi frekvenco zvišali na 20 Hz, po drugi ustavitvi pa na 30 Hz.

Rezultati

Pridobljeni podatki nakazujejo na to, da sila, potrebna za zlom špageta, na začetku s številom nihajev najprej narašča, nato pa začne padati. Da bi to zares potrdili, bi morali poskus ponoviti tako, da vmes ne bi spreminjali frekvence upogibanja. Morda je ravno sprememba frekvence na 30 Hz, po 2. ustavitvi, povzročila to, da sila ni več naraščala.

Poskus bi lahko ponovili še s snopi špagetov, da ugotovimo, ali tudi za snope odvisnost sile od upogibov izgleda enako.

Močenje špagetov

Površinsko smo preverili tudi vpliv namakanja špagetov na lomno silo. To smo preverili za posamezne špagete N°1 in za snop 15 špagetov. Namakali smo jih v vodi s sobno temperaturo 22,6 °C.

Sila, potrebna za zlom enega namočenega špageta, je bila 0,39 N ± 0,04 N, za zlom suhega špageta pa 0,73 N ± 0,07 N.

Sila, potrebna za zlom snopa petnajstih namočenih špagetov, je bila 2,2 N ± 0,3 N, silo, potrebno za zlom enakega števila suhih špagetov pa lahko napovemo s pomočjo grafa :

Lomilna sila za en špaget se je z 20-minutnim namakanjem zmanjšala za 46 %, za snop 15 špagetov pa za 72 %.

Potrdimo lahko torej, da 20-minutno namakanje zmanjša odpornost špagetov na zlom, za kaj več pa je potrebnih več meritev.